makalah matematika bilangan bulat

BAB II

PEMBAHASAN

A. Defenisi Bilangan Bulat


Sebelum mengajarkan pembelajaran hitung bilangan bulat, langkah pertama adalah mengenalkan apa itu bilangan bulat. Bilangan bulat bagi siswa mungkin masih begitu abstrak. Maka dari itu guru harus menggunakan media konkret dalam pelaksanaan pembelajarannya. Bilangan bulat ini terdiri dari bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif serta nol. Bilangan bulat positif mulai dari : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .....dst. Bilangan Nol 0. Bilangan bulat negatif mulai dari : -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10....dst.


Untuk memudahkan pembelajaran, guru bisa membuatkan sebuah garis bilangan untuk bilangan bulat tersebut. Dalam satu garis tersebut bilangan postif berada di sebelah kanan sedangkan bilangan negatif di sebalah kiri dan ditengah-tengahnya bilangan "0" Selengkapnya bisa anda lihat pada gambar dibawah ini.









B. Pengenalan Bilangan Bulat


  Dalam pembelajaran pengenalan bilangan bulat, guru harus menggunakan benda-benda konkret agar siswa lebih mudah memahaminya sehingga tidak ada kesalah pahaman siswa di dalam menerima materi dari guru. Adapun langkah pembelajaran dalam memperkenalkan bilangan bulat kepada siswa adalah sebagai berikut :


1. Memulai pembelajaran guru membuka dengan suasana yang akrab dan penuh keceriaan.


2. Sampaikan tujuan pembelajaran dengan jelas kepada siswa.


3. Saat akan mengenalkan bilangan bulat, mulailah pada bilangan bulat positif.


4. Mengenalkan bilangan bulat postif bisa dengan menggunakan benda. Misalnya akan mengenalkan bilangan bulat postif 5, Anda bisa menggunakan dengan 5 buah jeruk. Mengenalkan bilangan bulat positif 10, bisa dengan menggunakan 10 buah jeruk. Demikian seterusnya ketika Anda menyajikan materi pembelajaran bilangan bulan postif.


5. Setelah siswa mengerti akan arti bilangan bulat postif, selanjutnya ajak mereka untuk menuliskan lambang bilangan bulat.


6. Selanjutnya mengajarkan siswa pengenalan bilangan bulat negatif. Sama halnya dengan bilangan bulat positif, untuk bilangan bulat negatif, anda bisa menggunakan konsep lawan bilangan. Artinya bila bilangan itu adalah bilangan bulat positif 5 maka lawannya adalah bilangan bulat negatif 5.


7. Atau anda bisa menggunakan konsep pembelajaran seperti ini : Ambil 5 buah jeruk. Kemudian tanyakan kepada siswa "Berapa buah jeruk yang Bapak bawa? maka siswa akan menjawab 5 buah jeruk.


8. Kemudian tugaskan salah seorang siswa untuk mengambil 3 buah jeruk, kemudian tanyakan         kepada siswa " Berapa buah jeruk yang diambil tadi? maka siswa akan menjawab 3 buah jeruk. Nah selanjutnya guru menuliskan lambang bilangan bahwa 3 buah jeruk yang diambil tadi adalah -3.


Dari kegiatan pembelajaran demikian maka siswa akan memahami bahwa bilangan bulat negatif itu sama seperti sebuah bilangan yang hilang atau tidak ada. Dari kasus pembelajaran tersebut pemahaman siswa akan bilangan bulat negatif menjadi semakin konkret. Pastilah kegiatan tersebut akan sangat menyenangkan bagi siswa.


C. Sifat-Sifat Bilangan Bulat


Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan bahwa Sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan definisi, karena definisi adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam matematika. Jika n bilngan bulat, maka -n didefinisikan tunggal sehingga n + (n) = (-n) + n = 0. Himpunan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli sehingga untuk setiap bilangan bulat n berlaku sifat n + (n) = (-n) + n = 0. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk daftar sebagai Z = bilangan bulat jika digambarkan dalam garis bilangan.


Sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan bulat yaitu sebagai berikut :


1. Sifat Tertutup


Sifat tertutup terhadap penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a + b) juga di dalam Z. Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b didalam Z maka a x b juga ada di dalam Z


2. Sifat Komutatif


Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b + a. Sifat komutatif perkalian yaitu untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a x b = b x a


3. Sifat Asosiatif


Sifat asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c = a+(b+c). Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a x b) x c = a x (b x c)


4. Sifat Distributif


Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku sifat a x (b + c) = (a x b) +(a x c). Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a + b) x c = (a x c) + (b x c)


D. Penjumlahan Bilangan Bulat


1. Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat


a. Sifat Asosiatif : ( a + b ) + c = a + ( b + c ), contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12


b. Sifat Komutatif : a + b = b + a, contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9


c. Unsur Identitas terhadap penjumlahan. Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a, contoh : 6 + 0 = 0 + 6


d. Unsur invers terhadap penjumlahan Invers jumlah (lawan) dari a adalah –a, Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a, a + (-a) = (-a) + a, contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0


e. Bersifat Tertutup, apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b bilangan bulat maka a + b = c ; c bilangan bulat. Contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9 bilangan bulat.


E. Pengurangan Bilangan Bulat


1. Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat


Bilangan bulat a dikurangi bialangan bulat b sama artinya dengan bulat a ditambahkan dari lawan bilangan bulat, atau dapat ditulis a - b = a + (-b). Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a - b) menghasilkan


a. Sembarang bilangan bulat


a – b = a + (-b), contoh 8 – 5 = 8 + (-5) = 3


a – (-b) = a + b, contoh 7 – (-4) = 7 + 4 = 11


Pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Secara lengkap sifat-sifat pengurangan bilangan bulat adalah sebagai berikut :


1. Untuk sifat komutatif dan asosiatif tidak berlaku


a – b ≠ b – a, contoh 7 – 3 ≠ 3 -7


(a – b ) – c ≠ a – ( b – c ), contoh (9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3)


2. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :


a – 0 = a dan 0 – a = -a


3. Bersifat tertutup


Yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat.


Contoh : 7 – 8 = -1 a 7, 8, -1 ∈ bilangan bulat



F. Perkalian Bilangan Bulat


1. Sifat-sifat perkalian bilangan bulat


a. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :


a x b = ab hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.


Contoh : 7 x 6 = 6 x 7 = 42


a x –b = -ab hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif.


Contoh : 3 x -4 = -12


-a x -b = ab à hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif.


Contoh : -4 x -5 = 20


b. Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)


Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24


c. Sifat Komutatif : a x b = b x a


Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20


d. Sifat Distributif : a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)


Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24


e. Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 = 0


Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x 1 = 1 x a = a


f. Bersifat Tertutup


Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈bilangan bulat


G. Pembagian Bilangan Bulat


1. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat


Jika a, b, dan c bilangan bulat dengan b 0, maka a ÷ b = c jika dan hanya jika a = b x c. Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b) merupakan suatu bilangan bulat jika dan hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu merupakan bilangan bulat. Karena itu, pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :


a. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif


(+) ÷ (+) = (+)


Contoh : 8 ÷ 2 = 4


b. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif


(-) ÷ (-) = (+)


Contoh : -10 : -5 = 2


c. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif


(+) ÷ (-) = (-)


(-) ÷ (+) = (-)


Contoh :


6 ÷-2 = -3


-12 ÷ 3 = -4


d. Hasil bagi bilangan bulat dengan nol (0) adalah tidak terdefenisi


a ÷ 0 tidak terdefinisi (~)


0 ÷ a = 0 (nol)


e. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif


a ÷ b ≠ b : a, contoh 4 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 4 à 2 ≠


(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c), contoh (8 ÷ 2) ÷ 4 ≠ 8 ÷ (2 ÷ 4)